Snowflakes Schneeflocken
Six arms, twelve symmetries, and a question Kepler could not answer Sechs Arme, zwölf Symmetrien und eine Frage, die Kepler nicht beantworten konnte
The snowflakes in the cabinet are 3D-printed replicas of real ice crystals. They share a feature that every natural snowflake has: six-fold symmetry. You can rotate them by \(60^\circ\) and they look the same; you can reflect them across any of six axes and they still look the same. Altogether, that is twelve symmetries — the dihedral group \(D_6\).
Kepler's question
In 1611, Johannes Kepler published a short New Year's gift for his patron: a Latin pamphlet titled Strena Seu de Nive Sexangula — A New Year's Gift, or On the Six-Cornered Snowflake. He had noticed that falling snowflakes, despite their endless variety, always show six corners. Why six? Why not five or seven?
Kepler had no microscope and no atomic theory. He reasoned by analogy with the densest packings of spheres he knew — the arrangements of seeds in pomegranates and of cannonballs in stacks. He could not give a final answer, but he framed the problem precisely, and he was right that the answer must lie in how the smallest building blocks of matter fit together.
The answer from crystallography
The full explanation came only in the 20th century, once X-ray diffraction revealed the structure of ice. Ordinary ice (so-called ice Ih) is built from water molecules arranged on a hexagonal lattice: each oxygen atom sits at the centre of a tetrahedron of four hydrogen-bonded neighbours, and these tetrahedra join up into flat sheets of hexagons, stacked on top of one another. When a water vapour molecule lands on a growing crystal, it can only attach along directions compatible with this hexagonal scaffold. Growth therefore preferentially shoots out along six directions — giving the six arms you see.
Symmetry: the group \(D_6\)
A regular hexagon has the dihedral group \(D_6\) as its symmetry group:
- six rotations (by \(0^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ\)), and
- six reflections (three across lines through opposite corners, three across lines through opposite edge midpoints).
That gives \(|D_6| = 12\) symmetries in total. A real snowflake inherits this group: whatever pattern grows on one of the six arms is copied, by symmetry, onto the other five. This is why it is enough to describe one arm — the other five follow.
Why are no two alike?
The famous claim that no two snowflakes are identical is a statement about the huge number of possible arm patterns. Each arm grows through fluctuations of temperature and humidity as the flake falls through different layers of cloud; tiny differences in the path compound into different branching patterns. The six arms stay nearly identical to each other only because they all experience the same conditions simultaneously. Two flakes that fell a few seconds apart in different parts of the cloud experienced different histories, and almost certainly look different.
The flake shown here was photographed in 1890 by Wilson A. Bentley, a Vermont farmer who over the course of his life produced more than 5000 photomicrographs of individual snowflakes. It was Bentley's collection that popularised the idea that no two snowflakes are alike. (Image: Wilson A. Bentley, 1890, public domain, via Wikimedia Commons.)
The Koch snowflake
Alongside the real crystal, mathematics has its own snowflake: the Koch snowflake, introduced by Helge von Koch in 1904. Start with an equilateral triangle. On each side, replace the middle third with two sides of an outward-pointing equilateral bump. Repeat, forever.
The resulting curve has some surprising properties:
- its perimeter is infinite,
- the area it encloses is finite — exactly \(\tfrac{8}{5}\) of the area of the starting triangle,
- its fractal dimension is \(\log 4 / \log 3 \approx 1.2619\).
Just like a real snowflake, it has the symmetry group \(D_6\). Unlike a real snowflake, it has no atoms — it is a pure geometric object defined by a simple recursive rule.
Try it yourself
Pick up one of the printed flakes and turn it by \(60^\circ\). It looks the same. Turn it by \(30^\circ\) — it does not. Hold it up to a mirror: the mirror image is still a valid snowflake. These are not accidents; they are what it means to say the dihedral group \(D_6\) is the symmetry of a snowflake.
Further Reading
Die Schneeflocken im Kabinett sind 3D-gedruckte Nachbildungen echter Eiskristalle. Sie teilen eine Eigenschaft, die jede natürliche Schneeflocke hat: sechszählige Symmetrie. Man kann sie um \(60^\circ\) drehen und sie sehen gleich aus; man kann sie an sechs verschiedenen Achsen spiegeln und sie sehen immer noch gleich aus. Zusammen ergibt das zwölf Symmetrien — die Diedergruppe \(D_6\).
Keplers Frage
Im Jahr 1611 veröffentlichte Johannes Kepler ein kleines Neujahrsgeschenk für seinen Gönner: eine lateinische Schrift mit dem Titel Strena Seu de Nive Sexangula — Eine Neujahrsgabe, oder Vom sechseckigen Schnee. Er hatte bemerkt, dass fallende Schneeflocken trotz ihrer unendlichen Vielfalt stets sechs Ecken zeigen. Warum sechs? Warum nicht fünf oder sieben?
Kepler hatte weder Mikroskop noch Atomtheorie. Er argumentierte durch Analogie zu den dichtesten Kugelpackungen, die er kannte — der Anordnung der Kerne in einem Granatapfel und der Stapelung von Kanonenkugeln. Eine endgültige Antwort konnte er nicht geben, aber er formulierte das Problem präzise, und er hatte recht damit, dass die Antwort darin liegen muss, wie die kleinsten Bausteine der Materie zusammenpassen.
Die Antwort aus der Kristallographie
Die vollständige Erklärung kam erst im 20. Jahrhundert, als die Röntgenbeugung die Struktur des Eises enthüllte. Gewöhnliches Eis (sogenanntes Eis Ih) ist aus Wassermolekülen aufgebaut, die auf einem hexagonalen Gitter angeordnet sind: Jedes Sauerstoffatom sitzt im Zentrum eines Tetraeders aus vier wasserstoffgebundenen Nachbarn, und diese Tetraeder fügen sich zu flachen Sechseckschichten zusammen, die übereinander gestapelt sind. Wenn ein Wasserdampfmolekül auf einen wachsenden Kristall trifft, kann es sich nur entlang der mit diesem hexagonalen Gerüst verträglichen Richtungen anlagern. Das Wachstum schießt deshalb bevorzugt in sechs Richtungen aus — daher die sechs Arme, die man sieht.
Symmetrie: die Gruppe \(D_6\)
Ein regelmäßiges Sechseck hat die Diedergruppe \(D_6\) als Symmetriegruppe:
- sechs Drehungen (um \(0^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ\)), und
- sechs Spiegelungen (drei an Achsen durch gegenüberliegende Ecken, drei an Achsen durch gegenüberliegende Kantenmittelpunkte).
Das ergibt \(|D_6| = 12\) Symmetrien insgesamt. Eine echte Schneeflocke erbt diese Gruppe: Was auch immer auf einem der sechs Arme wächst, wird durch Symmetrie auf die anderen fünf übertragen. Deshalb genügt es, einen einzigen Arm zu beschreiben — die anderen fünf ergeben sich.
Warum sind keine zwei gleich?
Die berühmte Behauptung, dass keine zwei Schneeflocken identisch seien, ist eine Aussage über die gewaltige Zahl möglicher Armmuster. Jeder Arm wächst durch Schwankungen von Temperatur und Luftfeuchtigkeit, während die Flocke durch verschiedene Wolkenschichten fällt; kleinste Unterschiede im Weg verstärken sich zu unterschiedlichen Verzweigungsmustern. Die sechs Arme einer einzelnen Flocke bleiben nur deshalb beinahe identisch, weil sie alle gleichzeitig denselben Bedingungen ausgesetzt sind. Zwei Flocken, die wenige Sekunden voneinander entfernt in unterschiedlichen Bereichen der Wolke gefallen sind, hatten verschiedene Geschichten und sehen mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit verschieden aus.
Die hier gezeigte Flocke wurde 1890 von Wilson A. Bentley fotografiert, einem Farmer aus Vermont, der im Laufe seines Lebens über 5000 Mikrofotografien einzelner Schneeflocken anfertigte. Es war Bentleys Sammlung, die die Vorstellung populär machte, dass keine zwei Schneeflocken gleich sind. (Bild: Wilson A. Bentley, 1890, gemeinfrei, via Wikimedia Commons.)
Die Koch-Schneeflocke
Neben dem echten Kristall hat auch die Mathematik ihre eigene Schneeflocke: die Koch-Schneeflocke, 1904 von Helge von Koch eingeführt. Man beginne mit einem gleichseitigen Dreieck. Auf jeder Seite ersetze man das mittlere Drittel durch zwei Seiten eines nach außen zeigenden gleichseitigen Höckers. Man wiederhole dies, unendlich oft.
Die entstehende Kurve hat einige überraschende Eigenschaften:
- ihr Umfang ist unendlich,
- die eingeschlossene Fläche ist endlich — genau \(\tfrac{8}{5}\) der Fläche des Ausgangsdreiecks,
- ihre fraktale Dimension beträgt \(\log 4 / \log 3 \approx 1{,}2619\).
Wie eine echte Schneeflocke hat sie die Symmetriegruppe \(D_6\). Anders als eine echte Schneeflocke besteht sie aus keinerlei Atomen — sie ist ein rein geometrisches Objekt, definiert durch eine einfache Rekursionsregel.
Selbst ausprobieren
Nehmen Sie eine der gedruckten Flocken und drehen Sie sie um \(60^\circ\). Sie sieht gleich aus. Drehen Sie sie um \(30^\circ\) — sie sieht nicht mehr gleich aus. Halten Sie sie vor einen Spiegel: das Spiegelbild ist immer noch eine zulässige Schneeflocke. Das sind keine Zufälle; genau das bedeutet die Aussage, dass die Diedergruppe \(D_6\) die Symmetrie einer Schneeflocke ist.
Weiterführende Literatur